La apariencia del concepto de integral se debió ala necesidad de encontrar una función primitiva de su derivado, y determinar el valor de las formas complejas del área de trabajo, la distancia recorrida la distancia, con los parámetros de las curvas trazadas por las ecuaciones no lineales.
Por supuesto
Pero la fuerza puede cambiar a lo largo del trabajo y en algún tipo de dependencia natural. La misma situación surge con el cálculo de la distancia recorrida si la velocidad no es constante.
Entonces, está claro para qué es una integral. Determinarlo como la suma de productos de los valores de una función por un incremento infinitesimal del argumento describe completamente el significado principal de este concepto como el área de la figura delimitada desde arriba por la línea de función, y a lo largo de los bordes por los límites de la definición.
Jean Gaston Darboux, matemático francés, enla segunda mitad del siglo XIX explicó muy bien qué es una integral. Hizo esto tan claramente que, en general, no es difícil incluso para un estudiante de secundaria comprender esta pregunta.
Supongamos que hay una función de cualquier forma compleja. eje y, sobre la que se deposita el valor del argumento, se divide en intervalos pequeños, idealmente, son infinitamente pequeña, pero debido a que el concepto de infinito es bastante abstracto, que es suficiente para imaginar piezas simplemente pequeños, la cantidad de la que normalmente se denota con la letra griega Δ (delta).
La función fue "cortada" en pequeños ladrillos.
A cada valor del argumento corresponde un punto eneje de ordenadas, en el que se trazan los valores correspondientes de la función. Pero como los límites de la sección seleccionada son dos, los valores de la función también serán dos, más grandes y más pequeños.
La suma de productos de valores grandes enEl incremento Δ se llama la gran suma de Darboux, y se denota como S. En consecuencia, los valores más pequeños en la sección limitada multiplicados por Δ todos juntos forman una pequeña suma de Darboux. La sección en sí se asemeja a un trapecio rectangular, ya que la curvatura de la línea de función se puede descuidar con un incremento infinitesimal. La forma más sencilla de encontrar el área de dicha figura geométrica es agregar productos de un valor mayor y menor a un incremento Δ y dividirlos entre dos, es decir, definirlos como la media aritmética.
Esta es la integral de Darboux:
s = Σf (x) Δ es una suma pequeña;
S = Σf (x + Δ) Δ es una gran suma.
Entonces, ¿qué es una integral? El área delimitada por la línea de función y los límites de la definición será:
∫f (x) dx = {(S + s) / 2} + c
Es decir, el promedio aritmético de las sumas grandes y pequeñas de Darboux es un valor constante, que se anula por diferenciación.
Partiendo de la expresión geométrica de esteLo hace evidente y el significado físico de la integral. El área de la figura, delineada por la función de velocidad, y delimitada por el intervalo de tiempo a lo largo de la abscisa, será la longitud de la trayectoria transversal.
L = ∫f (x) dx en el intervalo de t1 a t2,
Donde
f (x) es la función de velocidad, es decir, la fórmula por la cual varía con el tiempo;
L es la longitud de la ruta;
t1 - tiempo del comienzo del camino;
t2 es el tiempo final de la ruta.
Precisamente sobre el mismo principio, se determina la magnitud del trabajo, solo a lo largo de la abscisa se depositará la distancia, y en la ordenada la magnitud de la fuerza aplicada en cada punto particular.
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